Галуа Ч.2: Кольца и поля. Конечные поля вида GF(p^n)

Значимый прорыв формирует отрасль ИИ: orikan 25 минут назад Галуа Ч. Конечные поля вида GF(p^n) Сложный 15 мин 632 Криптография * Математика * FAQ Это вторая часть из серии статей про путь от основ абстрактной алгебры до изоморфизма конечных полей:Галуа Ч. 1: Классы вычетов и группы.

3: Конечные поля вида . Изоморфизм конечных полей. Структура статьиКольца и поляКонечные поляКонечное поле Конечное поле Конечное поле Скрытый текстПредостережение.

Технические детали

Если эта тема для вас новая, рекомендую предварительно ознакомиться с первой частью серии. В дальнейшем изложении я буду использовать обозначения, формулы и теоремы из первой части без дополнительных пояснений. Кольца и поляРассмотрим две новые алгебраические структуры - кольца и поля, которые также активно применяются в криптографии.

Кольцом называется множество с заданными на нем операциями сложения и умножения, обладающее следующими свойствами:множество является абелевой группой по сложениюоперация умножения ассоциативна, т. для любых трех элементов выполняется равенство: операция умножения связана с операцией сложения свойством дистрибутивности: для любых Скрытый текстИз определения видно, что понятие кольца опирается на понятие группы: каждый новый объект абстрактной алгебры строится на основе предыдущих, как из кирпичиков. Поэтому важно последовательно разобраться в особенностях каждой из структур.

Скрытый текстВ отличие от группы, понятие кольца оперирует уже двумя операциями - сложением и умножением, а аксиомы кольца задают минимальную связь между ними. Без дополнительных уточнений кольцо - это множество элементов, которые относительно сложения ведут себя "хорошо" и вполне привычным образом, тогда как для умножения гарантируется лишь то, что оно определено на этом множестве. Поэтому без дополнительных условий нельзя говорить о каких-либо столь же "хороших" свойствах умножения.

Отраслевые последствия

Из свойства дистрибутивности умножения относительно сложения следует, что для любого элемента :Скрытый текстЭто может вас несколько запутать, поэтому добавлю небольшое пояснение. Кольцо является абелевой группой по сложению, следовательно . Тогда из свойства дистрибутивности мы получаем .

Добавяя к этому выражению слева и справа противоположный элемент по сложению , получим . Элемент называется левым делителем нуля, если существует ненулевой элемент такой, что , и - правым делителем нуля, если . Элемент, который одновременно является и левым, и правым делителем нуля, называется делителем нуля.

Ноль называется тривиальным делителем нуля, а остальные делители нуля, если существуют, - нетривиальными. Кольцо, в котором нет нетривиальных делителей нуля, называется областью целостности. Если операция умножения в кольце является коммутативной, то оно называется коммутативным кольцом.

Событие, по словам экспертов, усилит конкуренцию в сфере ИИ.