Claude опроверг знаменитую гипотезу якобиана. Она держалась 87 лет, а проверка занимает минуту

Значимый прорыв формирует отрасль ИИ: runaway_llm 23 минуты назад Claude опроверг знаменитую гипотезу якобиана. Она держалась 87 лет, а проверка занимает минуту Простой 4 мин 892 Искусственный интеллект Машинное обучение * Математика * Обзор В ночь после финала чемпионата мира по футболу математик Левент Альпёге опубликовал в X сообщение, которое начинается словами "всем привет, гипотеза якобиана ложна". Дальше — благодарность "близкому другу Ахилу" за наводку на задачу и "близкому другу Fable", работавшему над ней во время финала, формула отображения из C³ в C³ и три точки, которые оно переводит в одну.

Ни статьи, ни препринта, ни пресс-релиза: заявление о падении математической гипотезы с 87-летней историей уместилось в один твит. Автор — не случайный человек в математике. Альпёге — теоретик чисел 1992 года рождения, выпускник Гарварда, Кембриджа и Принстона; докторскую защитил под руководством филдсовского лауреата Манджула Бхаргавы и получил премию Моргана — главную награду США за студенческие математические исследования.

Технические детали

Позже вместе с Бхаргавой и Шнидманом он продвинул многовековую задачу о представлении чисел суммой двух рациональных кубов, а самая свежая его математическая работа — участие в решении десятой проблемы Гильберта над всеми числовыми полями. "Друг Ахил" — судя по всему, Ахил Мэтью, профессор Чикагского университета: теоретик чисел Джаред Лихтман в комментарии к результату уже приписал опровержение тройке Альпёге, Мэтью и Claude Fable 5. "Друг Fable" в представлении не нуждается — это модель Anthropic.

Важно добавить, что сам Альпёге сейчас работает в Anthropic. На личном сайте он пишет, что после выхода GPT-4 ушел из академической математики обратно в computer science — так что "близкий друг Fable" оказывается в буквальном смысле коллегой. Сама гипотеза якобиана — про полиномиальные преобразования: берем отображение, где каждая новая координата — многочлен от старых.

Определитель матрицы Якоби — его и называют якобианом — показывает, как такое преобразование локально растягивает или сжимает пространство. Если этот определитель — ненулевая константа, преобразование нигде ничего не схлопывает и в каждой точке локально обратимо. Гипотеза, сформулированная Отт-Генрихом Келлером в 1939 году, утверждала: тогда оно обратимо и целиком, причем обратное отображение — тоже многочлены.

Отраслевые последствия

Коротко: "хорошее везде локально" обязано быть "хорошим глобально". В 1998 году Стивен Смейл включил ее в свой список математических задач на XXI век — в одной компании с гипотезой Римана, P vs NP и уравнениями Навье–Стокса. Формула из твита ломает это одним ударом.

У предъявленного отображения якобиан всюду равен −2: константа, не ноль — все условия гипотезы выполнены. Но три разные точки переходят в одну и ту же, а значит, обратного отображения не существует по определению: глядя на результат, невозможно сказать, из какой из трех точек он получился.

Этот прогресс даёт важные сигналы о будущем отрасли, и технологический мир внимательно наблюдает.